w15 a, Inżynierskie, Semestr III, Metody obliczeniowe, Wyklady

Rachunek różniczkowy
ԟ
Różniczkowanie symboliczne
(dana jest postać analityczna funkcji)
ԟ
Różniczkowanie numeryczne
(dane są wartości funkcji dla
skończonej liczby argumentów)
Róż ik i
Różniczkowanie symboliczne
Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej
y
=
f
(
x
)
d
f
=
f
′
(
x
)
def
=
lim
f
(
x
+
∆
x
)
−
f
(
x
)
diff
(
f
(
x
),
x
)
lub
D
(
f
)
=
f
(
x
)
=
∆
lim
diff
(
f
(
x
x
)
lub
D
(
f
)
d
x
∆
x
x
→
0
Pochodne wyższych rzędów
n
n
1


d
f
d

d
−
1
f

=
,
n
=
2
,
...
diff
(
f
(
x
),
x
$
n
)
lub
(
D
@@
n
)(
f
)
d
x
n
d
x
d
x
n
−
1


Definicja pochodnej cząstkowej funkcji dwóch zmiennych
f
(
x,y
)
h d j
kj f kji dóhi
h
f
( )
∂
f
def
f
(
x
+
∆
x
,
y
)
−
f
(
x
,
y
)
=
f
=
lim
0
diff
(
f
(
x
,
y
),
x
)
lub
D
[
1
]
(
f
)
x
∂
x
∆
x
→
∆
x
∂
x
∆ 0
x
→
∆
x
Pochodnej cząstkowe wyższych rzędów (czyste, mieszane)
∂
2
f
∂
∂
f

∂
2
f
∂
∂
f

∂
f
2
=
∂

∂
f

,
∂
f
=
∂

∂
f



∂
x
∂
x

∂
x
∂
x
∂
y
∂
x

∂
y
diff
(
f
(
x
,
y
),
x
,
x
)
diff
(
f
(
x
,
y
),
x
,
y
)
(
f
(
,
y
),
,
)
(
f
(
,
y
),
,
y
)
D
[
1
]
(
f
)
D
[
1
2
]
(
f
)
)


fi i j


Operator
D
vs. komenda
diff
Pochodna funkcji → funkcja:
>
unapply(diff(f(x),x),x);
>
D(f);
Pochodna funkcji w punkcie:
>
eval(diff(f(x),x),x=x0);
>
subs(x=x0,diff(f(x),x));
>
D(f)(x0);
Pochodna funkcji jednej zmiennej zadanej w sposób uwikłany
F
(
x
,
y
) = 0, (
y
=
y
(
x
)),
y
’=? ,
y
’’=? ,
y
’’’=? …
F
( =
x
,
y
)
0
dF
=
F
+
F
y
′
=
0
→
y
′
=
F
y
=
F
+
F
y
=
0
→
y
=
−
dx
F
y
2
2
dF
2
2
F FF
−
( )
F F
−
F F
x yy
y
x
x
y
= + + +
FFyFFyyFy
′
(
′ ′ ′′
+ = →
0
y
′′
=
d x
2
xx
xy
xy
yy
y
3
2
y
y
yy
y
( )
3
d
F
=
..........
..........
..........
..........
..........
.........
=
0
→
y
′
=
..........
..........
..........
..........
..........
.....
d
x
3
#
x
()
)
d
( )
F
Różniczkowanie numeryczne
Wzory różnicowe
(
ilorazy różnicowe
)*
Metody wyprowadzania wzorów różnicowych
1. Z definicji pochodnej
2. Z szeregu Taylora
3. Z wielomianu interpolacyjnego
* Wzory wyrażające wartości pochodnych poprzez wartości funkcji w zadanych
kh
punktach

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl