|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Wykład 2 Granica ciągu
Definicja 1. Ciągiem nieskończonym nazywamy dowolną funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych. czytaj.: n-ty wyraz ciągu Określenie: Prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza: wszystkie z wyjątkiem ich skończonej ilości. Definicja 2. Liczbę rzeczywistą a nazywamy granicą ciągu , jeżeli dla każdego dodatniego, dowolnie małego ε istnieje taka liczba , ze wszystkie wyrazy o numerach większych od spełniają nierówność . Zatem można obrazowo stwierdzić, iż liczba a jest granicą ciągu, gdy prawie wszystkie wyrazy (czyli wszystkie oprócz skończonej ilości) tego ciągu leżą dowolnie blisko a (czyli w odległości mniejszej niż dowolnie małe ε). Fakt ten zapisujemy symbolicznie: lub
Wniosek: Granica ciągu stałego jest równa wartości jego wyrazów. Twierdzenie 1 Niech Wówczas 1) 2) 3)
Definicja 3. Mówimy, że ciąg ma granicę równą , jeżeli dla dowolnie dużej, dodatniej liczby M, istnieje taka liczba , ze wszystkie wyrazy o numerach większych od spełniają nierówność . Zatem można obrazowo stwierdzić, iż granicą ciągu jest, , gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od dowolnie dużej liczby rzeczywistej M. Wniosek
Spróbujemy rozszerzyć twierdzenie 1 na niektóre przypadki granic: „”oraz „” 1) Jeżeli to 2) Jeżeli to 3) Jeżeli to
4)Jeżeli 5) Jeżeli 6) Jeżeli 7) 8) 9) 10) 11)
Uwaga. Przytoczone twierdzenia można „skrótowo” zamieścić w tabelach, które ułatwią szybkie dotarcie do właściwej informacji: Poniższa tabela zawiera informacje o granicy iloczynu ciągów w przypadku różnych wariantów granic jego czynników. an® a>0 a<0 0 -¥ +¥ bn® b>0 ab ab 0 -¥ +¥ b<0 ab ab 0 +¥ -¥ 0 0 0 0 ? ? -¥ -¥ +¥ ? +¥ -¥ +¥ +¥ -¥ ? -¥ +¥ Opracuj podobne tabele dla sumy i ilorazu ciągów Symbole nieoznaczone Twierdzenie 2
Twierdzenie 3 (o trzech ciągach) Dane są ciągi: takie, że oraz Wówczas
Przykład:
Definicja 5. Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli Ciąg nazywamy ciągiem słabo rosnącym, jeżeli Określenie. Ciągi: rosnące, słabo rosnące, malejące, słabo malejące określamy jako ciągi monotoniczne. Definicja 6. Ciąg nazywamy ciągiem ograniczonym od góry, jeżeli spełnia warunek
Twierdzenie 4 (o granicy ciągu monotonicznego) Jeżeli ciąg monotoniczny jest ograniczony z góry, to posiada granicę skończoną. Jeśli zaś jest nieograniczony, to zmierza do. Rozważmy ciąg: ... |
Menu
|