wartosc pieniadza w czasie, Zarządzanie PWR, I stopień, III semestr, Matematyka ekonomiczna

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie powiększona
o naliczone odsetki, co wygląda następująco:

Kwota przy odbiorze = kwota wpłacona + stopa % x kwota wpłacona

Po zamianie na symbole:

FV = PV + r · PV

FV = PV ( 1 + r )

Gdzie:               FV – wartość przyszła pieniądza (future value)

              PV – wartość bieżąca pieniądza (present value)

              r – nominalna stopa procentowa,

ten wzór pokazuje sytuację jednego okresu kapitalizacji pieniądza

jeśli okresów jest więcej, posługujemy się procentem składanym:

FV = PV ( 1 + r )n lub FV = PV ( 1 + r/m )nm

Gdzie:              

              FV – wartość przyszła pieniądza (future value)

              PV – wartość bieżąca pieniądza (present value)

              r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP),

              n – ilość lat, w których kapitalizowane są odsetki

              m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku

Efektywna stopa procentowa EAR
i bieżąca stopa zwrotu

Efektywna stopa procentowa to rzeczywisty, wyrażony
w procentach przyrost kapitału początkowego w ciągu roku.

EAR = ( 1 + r/m )m – 1

Gdzie:

              EAR – efektywna roczna stopa procentowa

              r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP)

              m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku

Bieżąca stopa zwrotu to wartość osiągniętego zysku z inwestycji
z każdej złotówki zaangażowanego kapitału. Liczona jest jako relacja dochodu do aktualnej ceny rynkowej waloru:

Bieżąca stopa zwrotu = dochód z inwestycji / wartość inwestycji

W gospodarce zwykle występuje spadek wartości pieniądza, czyli inflacja. Należy zatem korygować osiągnięte wyniki o stopę inflacji, a więc liczyć stopę realną:

r real = [ ( 1 + rnom ) / ( 1 + rinfl ) ] – 1 ­

Gdzie:

              r real­ –  realna stopa procentowa (zwrotu)

              r nom – nominalna stopa procentowa lub stopa zwrotu

              r infl – stopa inflacji

Wartość bieżąca pieniądza: Present Value PV

Wartość bieżąca (aktualna, dzisiejsza) pojawia się wtedy, gdy np. zastanawiamy się, ile ulokować obecnie w banku, aby przy danej stopie oprocentowania uzyskać za jakiś czas określoną kwotę pieniędzy.

PV = FV / ( 1 + r )n lub  PV = FV / ( 1 + r/m )mn

Gdzie:              

              PV – wartość bieżąca pieniądza (present value)

              FV – wartość przyszła pieniądza (future value)

              r – nominalna roczna stopa procentowa (NSP),

              n – ilość lat, w których kapitalizowane są odsetki

              m – ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku

występujący we wzorze współczynnik 1 / ( 1 + r )n to tzw. czynnik dyskontujący, a teoria bieżącej wartości pieniądza nosi nazwę wartości zdyskontowanej, albo dyskontowania

Wartość przyszła i obecna strumienia równych płatności – koncepcja renty

Koncepcja stałych płatności obejmuje zarówno ich wartość przyszłą, jak i bieżąca. Stałe płatności składają się z serii „n” równych wartościowo kwot pieniężnych, pojawiających się
w równych odstępach czasu, gdy stopa procentowa (stopa zwrotu) w poszczególnych okresach jest jednakowa.

Ta koncepcja nazywa się również kapitalizowaniem lub dyskontowaniem rent.

Na początek zajmiemy się płatnościami „z dołu”, czyli na koniec okresu:

FVA = A · [ ( 1 + r )n – 1 ] / r

Gdzie:              

              FVA – wartość przyszła sumy stałych płatności

              A – kwota jednej stałej płatności (annuitetu)

              r – stopa procentowa, odpowiednia dla okresu dokonywania stałych płatności

              n – liczba dokonywanych stałych płatności lub liczba okresów

występujący we wzorze współczynnik [ ( 1 + r )n – 1 ] / r to  mnożnik wartości przyszłej renty (MWPR)

jeśli dokonujemy stałych, cyklicznych wpłat na początek okresu, wtedy mamy do czynienia z rentą płaconą „z góry”. Jej wzór to:

FVA = A · ( 1 + r) · [ ( 1 + r )n – 1 ] / r

Jeśli interesuje nas bieżąca wartość stałych płatności „z dołu”
(np. w przypadku spłaty rat kredytu bankowego, w których zawierają się zarówno odsetki, jak i rata kapitałowa), korzystamy ze wzoru:

PVA = A · [ (1 - ( 1 + r )-n ) / r]

Gdzie:              

              PVA – wartość bieżąca sumy stałych płatności

              A – kwota jednej stałej płatności (annuitetu)

              r – stopa procentowa, odpowiednia dla okresu dokonywania stałych płatności

              n – liczba dokonywanych stałych płatności lub liczba okresów

występujący we wzorze współczynnik [ 1 - ( 1 + r )-n ] / r nazywany jest mnożnikiem wartości obecnej renty (MWOR)

analogicznie możemy szukać wartości bieżącej renty, której wypłata następuje „z góry”. Wtedy niezbędny będzie wzór:

PVA = A · [ ( 1 + r )n – 1) ] / [ r · ( 1 + r )n-1 ]

Koncepcja renty wieczystej – Perpetuity

Zdarza się, że mamy do czynienia z szeregami płatności o jednakowej wysokości, dokonywanymi regularnie przez nieskończoną liczbę okresów. Jest to tzw. renta wieczysta (perpetuity). Korzystamy wtedy ze wzorów:

ü    Na rentę wieczystą „z dołu”

PVP = P / r

ü    Na rentę wieczystą „z góry”:

PVP = P + P / r

Gdzie:              

              PVP – wartość bieżąca sumy stałych płatności osiąganych w nieskończonej liczbie okresów

              P – kwota jednej płatności perpetualnej

              r – oczekiwana stopa zwrotu, odpowiednia dla okresu

dodatkowo możemy mieć do czynienia z szeregiem płatności, które rosną o ten sam współczynnik (stopę). Wtedy korzystamy
z formuły:

PVP = P / ( r – g )

Gdzie:

              g – stała stopa wzrostu płatności z okresu na okres

(wzór może być wykorzystany, gdy r > g )             

6