wariacje, STUDIA, ELEKTRONIKA & TELEKOMUNIKACJA, Analiza Matematyczna

Rozdział7
Rachunekwariacyjny
1Typowyproblemwariacyjny
Pocz¡tki rachunku wariacyjnego to koniec 17. wieku. W 1696 roku, Jan Bernoulli w
ActaEruditorum
1
wezwał „najt¦»szych matematyków ±wiata” do rozwi¡zania
zagadnieniabrachistochrony
: znalezienia rów-
nania krzywej, po której porusza si¦ punkt materialny pod wpływem sił ci¦»ko±ci, a która ma własno±¢
zminimalizowania czasu podró»y pomi¦dzy dwoma, dowolnie zadanymi, punktami
2
. Problem ten dobrze
ilustruje podstawowe zagadnienie rachunku wariacyjnego, jakim jest znalezienie ekstremum (praktycznie
zawsze to b¦dzie minimum)
funkcjonału
– wielko±ci wyra»onej przy pomocy całki, której warto±¢ zale»y
od
drogicałkowania
, a wi¦c postaci krzywej ł¡cz¡cej dwie konkretne warto±ci zmiennej całkowania.
W problemie brachistochrony zmienn¡
x
–
zmienn¡niezale»n¡
– jest odległo±¢ „w poziomie” pomi¦dzy
poło»eniami punktu; poło»enie „w pionie”
y
=
y
(
x
) to
zmiennazale»na
. Dwoma punktami, pomi¦dzy któ-
rymi przebiega droga całkowania, s¡ punkt „startu” (
x
s
,y
s
) i punkt „mety”: (
x
m
,y
m
) –
wi¦zy
narzucone na
ruch
y
s
=
y
(
x
s
)
, y
m
=
y
(
x
m
)
.
(7.1)
Nasze zadanie to znalezienie równania krzywej
y
=
y
(
x
), które musi spełnia¢
wi¦zy
(
7.1
) i minimalizuje
całkowity czas
T
podró»y, który mo»emy przedstawi¢ w postaci całki
Z
x
m
,y
m
Z
x
m
,y
m
ds
v
,
T
=
dt
=
(7.2)
x
s
,y
s
x
s
,y
s
gdzie
ds
to element drogi, a
v
– pr¦dko±¢ podró»uj¡cego ciała. Warto±¢ tej ostatniej obliczamy z prawa
zachowania energii
q
v
=
v
(
y
) =
2
g
(
y
s
−
y
);
(7.3)
z kolei
q
s
dy
dx
2
q
ds
=
dx
2
+
dy
2
=
1 +
dx
=
1 +
y
2
x
dx,
(7.4)
gdzie przez
y
x
b¦dziemy oznacza¢
dy/dx
. Po podstawieniu z (
7.3
) i (
7.4
) do (
7.1
) mamy
3
T
=
Z
x
s
p
2
g
(
y
s
−
y
)
dx.
p
1 +
y
2
x
(7.5)
x
m
Okre±lenie krzywej najszybszego spadku, to wybranie, spo±ród niesko«czenie wielu mo»liwych trajektorii
ł¡cz¡cych punkt (
y
s
,x
s
) („start”) z punktem (
x
m
,y
m
) („meta”) tej, która minimalizuje wyra»enie (
7.5
).
1
Byłtopierwszyniemieckiperiodyknaukowy.Ukazywałsi¦onrazwmiesi¡cuibyłwydawanywLipsku,wlatach1682–1782,
przezOttoMenkeijegosynaJohanna.Tennaukowymiesi¦cznikwydawanybyłpołacinie,apublikowaliwnimnajlepsiuczeni,
»yj¡cywtym–jak»eproduktywnym–stuleciu.
2
Brachistochron¡jest–jakwiemyizarazzobaczymy–cykloida.Jestonazarazem
izochron¡
albo
tautochron¡
–czaspodró»y
b¦dzietakisamdlaró»nych(le»¡cychnaró»nychwysoko±ciach)punktówstartowych.Nazwywywodz¡si¦zj¦zykagreckiego:
brakhus
–krótki;
tauto
–takisam;
isos
–równy,tensam;
chronos
–czas.Empirycznieproblemtenbyłju»znanyChristianowi
Huyghensowi,którywykorzystywałizochronizmcykloidydokonstrukcjizegarów.Problembrachistochronyrozwi¡zali:Newton,
Leibniz,del’Hospital(n.b.ucze«JanaB.)oraz„wielkibratJana”,JakubBernoulli.Zciekawostek:Jakubznałprawidłow¡
odpowied¹ju»odpewnegoczasu,izachodz¡podejrzenia,»ejego(młodszy)brat...zapoznałsi¦zni¡przedogłoszeniem
konkursu.Leibniznietylkorozwi¡załproblem,alepodał(prawidłowo!)nazwiskawszystkichmatematyków,którzyznimsi¦
uporaj¡.Newton,b¦d¡cyju»wnienajlepszejkondycjipsychicznej,pootrzymaniuwyzwaniazamkn¡łsi¦nacaływieczórwswojej
pracowniiwyszedłzniejo4.ranozgotowymrozwi¡zaniem.
3
„Wymiana”graniccałkowaniatokonsekwencjaantyrównoległo±ci
wektorów
ds
i
v
.
1
–Rachunekwariacyjny
2
2Rachunekwariacyjny–jednazmiennaniezale»naijednazmienna
zale»na
Sformułowany w poprzednim podrozdziale problem ilustruje najprostszy przypadek rachunku wariacyjnego,
kiedy mamy do czynienia z jedn¡ funkcj¡ –
jedn¡zmienn¡zale»n¡
–
y
=
y
(
x
), b¦d¡c¡ funkcj¡ (tylko !)
jednejzmiennejniezale»nejx
. Wyst¦puj¡ca pod znakiem całki funkcja
f
zale»y od obu zmiennych, zale»nej
i niezale»nej, a tak»e od pochodnej
dy/dx
y
x
. Ogólne sformułowanie problemu wariacyjnego sprowadza
si¦ do znalezienia
y
=
y
(
x
), dla której funkcjonał
J
, okre±lony jako
J
=
Z
x
2
f
y
(
x
)
,
dy
dx
,x
dx,
(7.6)
x
1
przyjmuje warto±¢ ekstremaln¡. Tak¡ drog¦ całkowania oznaczamy
y
(
x
). W kontek±cie rozwa»a« mechanicz-
nych mo»emy nazwa¢ j¡
trajektori¡rzeczywist¡
. Dla ka»dej warto±ci zmiennej
x
z przedziału (
x
1
,x
2
) zdefi-
niujmy
trajektori¦porównawcz¡ Y
(
x
), przebiegaj¡c¡ w bezpo±rednim s¡siedztwie
y
(
x
).
Podkre±lmy, »e
wszystkie
trajektorie przechodz¡
przez narzucone punkty (
x
1
,y
1
) i (
x
2
,y
2
) – por.
rys.
7.1
.
Odchylenie trajektorii porównawczej od rzeczy-
wistej w punkcie
x
nazywamy
wariacj¡funkcjiy
i oznaczamy
y
=
y
(
x
) =
Y
(
x
)
−
y
(
x
)
.
(7.7)
Ze wzgl¦du na narzucone warto±ci
y
1
=
y
(
x
1
) =
Y
1
(
x
1
) oraz
y
2
=
y
(
x
2
) =
Y
2
(
x
2
) dla ko«ców prze-
działu mamy
y
(
x
1
) =
y
(
x
2
) = 0
.
(7.8)
Podobnie mo»emy wprowadzi¢, ró»niczkuj¡c
obie strony (
7.7
), wariacj¦
pochodnejfunkcjiy(x)
dy/dx
Rysunek 7.1: Trajektoria rzeczywista
y
(
x
), minimali-
zuj¡ca warto±¢ funkcjonału
J
i trajektoria porównaw-
cza
Y
(
x
), obie przechodz¡ce przez
y
(
x
1
) =
Y
(
x
1
)
y
1
oraz
y
(
x
2
) =
Y
(
x
2
)
y
2
.
dx
y.
(7.9)
Dla funkcji
f
, b¦d¡cej w ogólnym przypadku
funkcj¡
y
i
y
x
, wariacja
f
b¦dzie si¦ wyra»ała przez
wariacje
y
i
y
x
4
y
x
=
dY
(
x
)
dx
−
dy
(
x
)
dx
=
d
f
f
(
x
) =
f
Y
(
x
)
,
dY
dx
,x
−
f
y
(
x
)
,
dy
dx
,x
=
@f
@y
y
+
@f
@y
x
y
x
.
(7.10)
Konsekwentnie
wariacjafunkcjonału
b¦dzie okre±lona jako
J
=
J
(
Y,Y
x
,x
)
−J
(
y,y
x
,x
) =
Z
x
2
f
Y
(
x
)
,
dY
dx
,x
−
f
y
(
x
)
,
dy
dx
,x
dx
x
1
Z
x
2
@f
@y
y
+
(7.11)
@f
@y
x
d
dx
y
=
dx.
x
1
Dla trajektorii
y
(
x
) realizuj¡cej minimum
J
, wariacja wielko±ci
J
musi by¢ równa zeru. Mamy tu analo-
giczn¡ sytuacj¦ jak w przypadku „zwykłego” warunku ekstremum dla funkcji
g
=
g
(
x
) – aby
g
(
x
) osi¡gało
ekstremum musi by¢
dg
= 0
.
Warunkiem dla trajektorii rzeczywistej b¦dzie wi¦c
J
=
Z
x
2
@f
@y
y
+
@f
@y
x
d
dx
y
dx
= 0
.
(7.12)
x
1
4
Wwyra»eniuna
wariacj¦
funkcji
f nie wyst¦puje
pochodnacz¡stkowa
@f/@x
–zmianyfunkcjonałuwynikaj¡bowiem
zodst¦pstwa–
przy ustalonej warto±ci x
–trajektoriiporównawczejodrzeczywistej.Inaczejmówi¡c:nazmian¦funkcjonału
maj¡wpływwariacjefunkcji
y
ijejpochodnej
y
x
,ale„wariacja”
x
=0.
–Rachunekwariacyjny
3
Drugi człon w funkcji podcałkowej „zaprasza” do całkowania przez cz¦±ci. Mamy
Z
x
2
@f
@y
x
d
dx
ydx
=
Z
x
2
d
dx
@f
@y
x
y
−
y
d
dx
@f
@y
x
dx
x
1
x
1
Z
x
2
(7.13)
@f
@y
x
y
x
=
x
2
y
d
dx
@f
@y
x
dx.
=
−
x
=
x
1
x
1
W tym momencie wykorzystujemy „warunek wi¦zów” (
7.8
) – z całki (
7.13
) pozostaje tylko drugi wyraz
i całka wyj±ciowa (
7.12
) przybiera posta¢
J
=
Z
x
2
@f
@y
−
d
@f
@y
x
ydx
;
(7.14)
dx
x
1
warunek zerowania si¦ jej dostarcza – z uwagi na
zupełn¡dowolno±¢wwyborzenaszychwariacji y
–
równania na szukan¡ trajektori¦ rzeczywist¡
y
(
x
)
5
.
@f
@y
−
d
@f
@y
x
y
(
x
) = 0
,
(7.15)
dx
albo
@y
−
d
@f
@y
x
= 0
.
(7.16)
dx
Równanie (
7.16
) nosi nazw¦ równania Eulera-Lagrange’a (E-L)
6
. Wyst¦puje ono w ró»nych postaciach,
które maj¡ swoje zastosowanie w pewnych, specyficznych przypadkach. Na przykład obliczaj¡c
dx
=
@f
@y
y
x
+
@y
x
y
xx
+
@f
@f
@x
oraz
d
dx
y
x
@f
@y
x
=
y
xx
@f
@y
x
+
y
x
d
@f
@y
x
dx
zweryfikujemy łatwo, »e
@x
−
d
f
(
x
)
−
y
x
@f
@y
x
=
−
y
x
@f
@y
−
d
@f
@y
x
,
dx
dx
a je»eli tak to alternatywna posta¢ równania Eulera-Lagrange’a to wła±nie
@x
−
d
f
(
x
)
−
y
x
@f
@y
x
= 0
.
(7.17)
dx
Jest ona szczególnie przydatna, je»eli funkcja
f
(
x
) nie zale»y
explicite
od
x
, gdy» wtedy równanie E-L
przybiera ju» całkiem prost¡ posta¢
f
(
x
)
−
y
x
@f
@y
x
= pewna stała
.
(7.18)
Nie zapominajmy, »e w równaniu (
7.16
) lub (
7.18
) dysponujemy jawn¡ postaci¡ funkcji
f
, natomiast
szukan¡ funkcj¡ jest „rzeczywista trajektoria”
y
(
x
).
Jako przykład zastosowania równania Eulera-Lagrange’a rozwi¡»emy do ko«ca problem brachistochrony,
równanie (
7.5
), w którym poło»ymy
x
m
=
y
m
= 0 [„meta” w pocz¡tku układu – por. rys.
7.2
(b)].
T
=
Z
x
s
p
2
g
(
y
s
−
y
)
dx.
p
1 +
y
2
x
(7.19)
0
5
Zerowaniesi¦całkiniemusiwynika¢zzerowaniasi¦funkcjipodcałkowej.Ale
dowolno±¢
wariacji
y
-apozwalastwierdzi¢,
»eabycałka(
7.14
)byłarównazerutozeru
musi by¢ równa
funkcjapodcałkowa.
6
Czasamimówisi¦poprostuorównaniuEulera.ZarównoEuler,jakiLagrange–dwajnajwi¦ksimatematycy18.wieku
–pracowaliwBerli«skiejAkademiiNauk(uFryderykaWielkiego),chocia»anijeden,anidruginiepozostalitamzbytdługo.
Eulerpowrócił–nazaproszenieKatarzynyWielkiej–doPetersburga,Lagrange–zpochodzeniaWłoch–przyj¡łzaproszenie
LudwikaXVIdoFrancji,gdzieprzyszłomuprze»y¢prze»y¢czasyWielkiegoTerroru.
@f
df
@f
@f
–Rachunekwariacyjny
4
Rysunek 7.2: (a) – cykloida, krzywa jak¡ zakre±la punkt obwodu koła, tocz¡cego si¦ ze stał¡ pr¦dko±ci¡
k¡tow¡ po poziomej prostej; (b) – cykloida odwrócona, brachistochrona siły ci¦»ko±ci.
Wyst¦puj¡ca w nim funkcja podcałkowa to
s
1 +
y
2
x
2
g
(
y
s
−
y
)
f
=
f
(
y,y
x
) =
(7.20)
nie zale»y od
x
, a wi¦c stosujemy uproszczon¡ posta¢ równania Eulera (
7.18
). Podstawiamy do niej
f
(
y,y
x
)
z równania (
7.20
) i po prostych przekształceniach mamy
q
(
y
s
−
y
)(1 +
y
2
x
) = stała
C
.
(7.21)
„Rozwikłanie” tego równania ze wzgl¦du na pochodn¡
dy/dx
prowadzi do
s
dy
dx
=
C
2
−
y
s
+
y
y
s
−
y
.
(7.22)
W dalszych rachunkach pomo»emy sobie . . . znajomo±ci¡ ko«cowego wyniku. Brachistochron¡ ma by¢ „od-
wrócona” (wypukło±ci¡ ku dołowi) cykloida, a wi¦c krzywa zakre±lana przez punkt obwodu koła o promieniu
R
, tocz¡cego si¦ po prostej ze stał¡ pr¦dko±ci¡ k¡tow¡
!
. Parametryczne równania cykloidy (koło i punkt
na jego obwodzie startuj¡ z pocz¡tku układu współrz¦dnych) to
x
(
) =
R
(
−
sin
)
(7.23)
y
(
) =
R
(1
−
cos
)
,
(7.24)
gdzie parametr
=
!t
(
t
to czas). Tak¡ cykloid¦ widzimy na rys.
7.2
(a).
Aby nasze obliczenia były jak najprostsze wybierzmy stał¡
C
2
w równaniu (
7.22
) równ¡
y
s
7
. Równanie
to przybiera wówczas posta¢
dy
dx
=
r
y
y
s
−
y
.
(7.25)
Poniewa» wiemy, »e jego rozwi¡zaniem ma by¢ cykloida, zdajemy sobie spraw¦, »e trudno byłoby liczy¢ na
uzyskanie równania w postaci uwikłanej
y
=
y
(
x
); zamiast tego spróbujmy dokona¢
apriori
parametryzacji
równania, „inspiruj¡c si¦” wzorem (
7.24
) i pisz¡c
y
=
y
(
) =
R
(1
−
cos
)
,
(7.26)
gdzie kładziemy – zgodnie z rysunkiem
7.2
–
R
=
y
s
/
2 (współrz¦dna
y
-owa punktu startu to najwy»sze
z mo»liwych poło»e« punktu na kole o ±rednicy 2
R
). Mamy wi¦c
y
=
y
(
) =
y
s
2
(1
−
cos
);
(7.27)
7
Wartotoprzemy±le¢„doko«ca”.Zpewno±ci¡mo»emywybra¢
ró»nic¦
C
2
−
y
s
jakopewn¡now¡stał¡,atooznacza:(1)„inny
pocz¡tek”osi
y
-óworaz(2)„inn¡warto±¢”współrz¦dnej
y
s
(innypunktstartu)wmianownikuwzoru(
7.22
).Jaktopotwierdz¡
uzyskanewyniki,wybór
C
2
=
y
s
,atak»ewybórodpowiedniejstałejcałkowaniawrównaniunadrug¡zmienn¡:
x
=
x
(
)[por.
równanie(
7.30
)],odpowiadaj¡sytuacji,kiedypunkt(0
,
0)
stanowi rzeczywi±cie
„met¦”dlaze±lizguj¡cegosi¦pokrzywejciałai
jednocze±niejesttopunktprzegi¦ciacykloidy,dlaktóregowarto±¢pochodnej
y
x
=0.
–Rachunekwariacyjny
5
podstawiaj¡c z tego równania do (
7.25
) dostaniemy
s
y
s
2
−
y
s
2
cos
s
dy
dx
=
1
−
cos
1 + cos
,
y
s
−
y
s
2
+
y
s
2
cos
=
(7.28)
albo – uwzgl¦dniaj¡c (
7.27
) –
s
s
1
−
cos
dy
=
y
s
1 + cos
1
−
cos
sin
d
dx
=
2
(7.29)
=
...
=
y
s
2
(1 + cos
)
d.
Rozwi¡zaniem tego równania (z dokładno±ci¡ do stałej
B
) b¦dzie
x
=
y
s
2
(
+ sin
) +
B
.
(7.30)
Stał¡
B
musimy jednak poło»y¢ jako równ¡ zeru, je»eli chcemy aby nasza krzywa przechodziła przez punkt
(0
,
0). Równania brachistochrony przybieraj¡ w tej sytuacji posta¢
x
(
) =
R
(
+ sin
)
(7.31)
y
(
) =
R
(1
−
cos
)
,
(7.32)
i przedstawiaj¡ cykloid¦, obrócon¡ wypukło±ci¡ w dół [por. rys.
7.2
(b)]. Pozostawiamy Czytelnikowi spraw-
dzenie, »e (1) „przesuwaj¡c” argument k¡towy o
:
!
+
w obu wzorach; (2) dodaj¡c do współrz¦dnej
x
-owej stał¡
−
R
; i (3) „odbijaj¡c” nasz¡ trajektori¦ w osi 0
x
oraz przesuwaj¡c j¡ w gór¦ o 2
R
:
y
!−
y
+2
R
otrzymamy równania (
7.23
) i (
7.24
), opisuj¡ce „normaln¡” krzyw¡ cykloidy, jak¡ widzimy na rys.
7.2
(a).
Cykloida jest krzyw¡ najszybszej podró»y, ale warto policzy¢ ten czas, aby stwierdzi¢ naocznie, »e jest
on niezale»ny od współrz¦dnych (
x
s
,y
s
) punktu startowego. Zgodnie z (
7.5
) (pami¦tajmy:
x
m
=
y
m
= 0)
T
=
p
2
g
Z
0
p
y
s
−
y
dx.
(7.33)
x
s
Teraz za
y
x
podstawiamy z (
7.28
), za
y
– z (
7.26
) i wreszcie zamiast całkowa¢ wzgl¦dem
x
-a podstawiamy
z (
7.31
)
dx
=
R
(1 + cos
)
d
. Obliczmy czas podró»y dla sytuacji kiedy punkt startuje z najwy»szego
poło»enia – b¦dzie to odpowiadało, zgodnie z (
7.32
), przyj¦ciu
y
s
=
R
[1
−
cos(
−
)] = 2
R
i całkowaniu
w granicach [por. rys.
7.2
(b)]
=
−
i
= 0. Poniewa» (por. (
7.27
))
q
s
2
1 + cos
;
p
1 +
y
2
x
r
2
R
1
1 + cos
1 +
y
2
x
=
p
y
s
−
y
=
(7.34)
całka (
7.5
) przyjmuje prost¡ posta¢
s
Z
0
−
d
=
s
R
g
R
g
.
T
=
(7.35)
To było do±¢ łatwe. Policzenie czasu podró»y dla
dowolnegopunktustartu
, a wi¦c dla dowolnej warto±ci
=
−
0
[por. rysunek
7.2
(b)] wymaga nieco wi¦cej zachodu. Przyjmujemy
y
s
=
R
[1
−
cos(
−
0
)] i całkujemy
w granicach [por. rys.
7.2
(b)]
=
−
0
i
= 0. Odpowiednikiem (
7.33
) b¦dzie
Z
0
s
p
2
g
2
1 + cos
R
(1 + cos
)
d
p
R
(1
−
cos
0
)
−
R
(1
−
cos
)
T
=
−
0
s
s
s
p
Z
0
Z
0
2 cos
2
R
g
1 + cos
cos
−
cos
0
d
=
R
g
=
q
d
−
0
−
0
cos
2
/
2
−
sin
2
/
2
−
cos
2
0
/
2 + sin
2
0
/
2
s
Z
0
cos
2
d
R
g
sin
/
2
sin
0
/
2
, du
=
cos
/
2
2 sin
0
/
2
=
q
=
u
=
−
0
sin
2
0
/
2
−
sin
2
/
2
s
Z
0
s
0
s
R
g
du
R
g
arcsin
u
R
g
.
= 2
p
1
−
u
2
= 2
=
−
1
−
1
1 + cos
p
1 +
y
2
x

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl