wahadlo+bezwladnosc pl, Budownictwo-studia, fizyka

Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.

wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego 2

POLITECHNIKA ŚLĄSKAWYDZIAŁ CHEMICZNY

KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW

ZESPÓŁ FIZYKI I MATEMATYKI STOSOWANEJ

LABORATORIUM Z FIZYKI

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego

1.1.Wprowadzenie

Wahadło matematyczne to punkt matrialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wkonujacy ruch w płaszczyźnie piomnowej pod działaniem siły ciężkości. W laboratorium składa się ono z małego obiektu (obciążnika wahadła) zawieszonego na nieważkiej nici. Nić powinna być nierozciągliwa, a odważnik wahadła musi być mały w stosunku do długości nici. Wychylenia wahadła w przód i w tył, bez uwzględnienia tarcia, realizuje ruch drgający prosty. Punkt materialny porusza się po łuku osiągając jednakowe wychylenie (amplitudę) po obu stronach od punktu równowagi (punkt gdzie znajduje się wahadło, gdy jest w spoczynku). Przechodząc przez punkt równowagi wahadło osiąga maksymalną prędkość.

Gdy wahadło wychylone jest o kąt φ, możemy siłę ciężkości Q (a w konsekwencji przyspieszenie g jakiego doznaje obciążnik w polu siły ciężkości) rozłożyć na dwie składowe: jedną składową odpowiadającą sile naprężenia nici N i na składową styczną do toru S (S = ‑ mgsinφ). Obciążnik wahadła jest traktowany jako punkt materialny.

Rys.1.1 Wahadło matematyczne

Łuk zatoczony przez punkt materialny ma długość:

s = l×j (1.1)

gdzie f jest kątem pomiędzy nicią, a pionem, zaś l jest długością nici, jak na rys. 1.1

Przyspieszenie styczne można zapisać następująco:

(1.2)

Dla małych kątów możemy przyjąć:

i (1.3)

Stąd z równania (1.2) otrzymujemy:

, a ponieważ s = l j to

lub to jest równanie ruchu harmonicznego prostego (1.4)

Wahadło, wychylone o mały kąt z położenia równowagi, wykonuje drgania harmoniczne proste.

Uwzględniając, że (oscylator harmoniczny) i możemy napisać równanie na okres wahań:

(1.5)

gdzie: l – długość wahadła, tj. odległość środka ciężkości ciała od osi obrotu

g – przyspieszenie ziemskie

Stąd przyspieszenie ziemskie możemy obliczyć z następującego wyrażenia:

(1.6)

Prosty oscylator harmoniczny

Poziomo poruszający się ciężarek jest przykładem oscylatora harmonicznego prostego. Jest to ciało o masie m na sprężynie na który działa liniowa siła sprężystości F odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x.

Zakładając, że na układ nie działają siły zewnętrzne, otrzymujemy:

Siłę możemy zapisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona jako iloczyn masy i przysieszenia:

(*)

Dla:

A po wstawieniu do rów. (*)

Dla wahadła matematycznego

1.2. Część doświadczalna

Dokonujemy serii pomiarów okresu wahań T1 przy dowolnej długości wahadła. Następnie skracamy lub wydłużamy długość wahadła o znaną wartość D i mierzymy nowy okres T2

Ponieważ:

(1.7)

oraz

(1.8)

Stąd:

(1.9)

A zatem zależność na obliczenie przyspieszenia ziemskiego przybiera postać:

(1.10)

Możemy przyjąć takie przybliżenie ponieważ pomimo, że drgania wahadła są w istocie drganiami tłumionymi i ich amplituda maleje z czasem do zera, lecz ich okres, jako niezależny od amplitudy nie ulega zmianie. Wzór (1.5) jest ważny tylko dla bardzo małych amplitud (φ < 50). W celu zmierzenia okresu T mierzymy kilkakrotnie (5-10 razy) czas trwania kilkudziesięciu (50-100) okresów. Z otrzymanych wyników tworzymy średnią a następnie obliczamy okres drgań T.

Wyniki zapisujemy w tabeli:

Numer pomiaru

Długość D

Okres drgań T

1.3 Wyniki, obliczenia i analiza błędów

Z danych zebranych w tabeli obliczamy średni okres drgań T:

(1.11)

średnią długość D:

(1.12)

Oraz odpowiednie odchylenia standardowe.

Po obliczeniu przyspieszenia ziemskiego z równania (1.10) należy obliczyć niepewność pomiaru złożonego ze wzoru:

(1.13)

Końcowy wynik należy podać w postaci:

(1.14)

1.4 Pytania

1. Jakie założenia trzeba przyjąć, aby otrzymać równanie drgań harmonicznych prostych?

2. Wyjaśnij źródło przybliżenia sinx=x. Pokaż dla jakich warunków jest to poprawne.

3. Czy możemy przewidzieć wartość okresu drgań na Marsie?

4. Jak zmieni się okres T, gdy wahadło będzie się poruszało z przyspieszeniem a?

5. Co to jest wahadło fizyczne? Wyprowadź równanie jego okresu.

6. Dlaczego bierzemy w obliczeniach pomiary dla dwóch różnych długości wahadła, a nie tylko jednego?

7. Wyprowadź i omów prosty oscylator harmoniczny.

8. Omów drgania harmoniczne proste, tłumione i wymuszone.

9. Co to jest wahadło matematyczne? Wyprowadź równanie jego okresu.

10. Wyprowadź wzory na energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą dla ciała o masie m poruszającego się ruchem harmonicznym.

1.5 Literatura

1. S.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna, Część I, Mechanika i Akustyka,PWN, Warszawa, 1980

2. J.Orear, Fizyka, Tom I, PWN Warszawa 1980

3. R.Resnick, D.Halliday, Fizyka, Tom I, PWN, Warszawa,1980

4. H.Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa, 1994

5. Douglas C.Giancoli, Physics for Scientist & Engineers ,Prentice Hall, 2000

POLITECHNIKA ŚLĄSKAWYDZIAŁ CHEMICZNY

KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII POLIMERÓW

ZESPÓŁ FIZYKI I MATEMATYKI STOSOWANEJ

LABORATORIUM Z FIZYKI

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego

2 Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego

2.1 Wprowadzenie

Rozpatrzmy obracającą się bryłę sztywną, np. koło obracające się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Możemy potraktowac koło, jako obiekt, który składa się z wielu cząsteczek umieszczonych w różnych odległościach R1, R2, ... Rn od jego osi obrotu.

Moment bezwładności bryły mierzy siłę z jaką obiekt przeciwstawia się zmianom prędkości obrotowej i jest określony równaniem:

[kg m2] (2.1)

Suma jest sumą iloczynów mas cząstek i kwadratów ich odległości do osi obrotu.

Jak wynika z równania (2.1) moment bezwładności bryły zależy nie tylko od jego masy ale również od tego jak rozłożona jest jego masa względem osi obrotu. Na przykład cylinder o dużej średnicy będzie miał większy moment bezwładności niż walec o tej samej masie lecz mniejszej średnicy wynika to z tego, że cząstki bardziej oddalone muszą podlegać większym zmianom prędkości stycznej przy zadanej zmianie prędkości kątowej. Moment bezwładności danego obiektu jest różny dla różnych osi obrotu.

Wiele brył sztywnych może być rozpatrywanych jako obiekty o ciągłym rozkładzie masy.

W takim przypadku moment bezwładności otrzymujemy z wyrażenia:

(2.2)

gdzie dm odpowiada infinitezymalnie małym częściom ciała a R jest odległością prostopadłą do osi obrotu. Całkowanie wykonuje się po całej objętości (zazwyczaj jest to całka podwójna lub potrójna).

...