wahad-o maxwella - teoria, MBM PWR, Fizyka, Laborki, Fizyka Labolatorium, Fizyka Labolatorium, laborki, laborki, lab

§ 1. Moment bezwładności

Wielkość I, równa sumie iloczynów mas poszczególnych cząstek układu i  kwadratów ich odległości od pewnej osi, nosi nazwę momentu bezwładności ciała względem tej osi :

I = S (miRi2)

Sumowanie dotyczy wszystkich infinitezymalnych mas mi, na które podzielone jest dane ciało sztywne

Z takiego określenia wynika, że moment bezwładności jest wielkością addytywną. Oznacza to, że moment bezwładności ciała jest sumą momentów bezwładności jego części. Należy mieć na uwadze, że wielkość ta istnieje niezależnie od tego, czy ciało obraca się, czy nie. Każde ciało ma moment bezwładności względem dowolnej osi, podobnie jak każde ciało ma masę, niezależnie od tego, czy ciało to spoczywa, czy po­rusza się.

Rozkład masy ciała można opisywać za pomocą gęstości. Jeżeli ciało jest jednorodne, tzn. we wszystkich punktach ma te same własności, to gęstością nazywamy wielkość :

r = m / V

gdzie m jest masą ciała, a V — jego objętością. W przypadku ciała jedno­rodnego gęstość jest masą jednostki objętości tego ciała.

W przypadku ciała o nierównomiernym rozkładzie masy powyższy wzór określa średnią gęstość. Gęstość w danym punkcie jest zdefiniowana następującym wzorem:

DV®¥

r = lim (Dm / DV ) = dm / dV ,

W tym wyrażeniu Dm jest masą zawartą w objętości DV, przy czym objętość DV ulega ściągnięciu do punktu, w którym chcemy określić gęstość, wskutek przejścia granicznego (ściągalność obszaru do punktu jest pojęciem ściśle określonym matematycznie).

Przejścia granicznego  nie należy rozumieć dosłownie w tym sensie, że DV staje się punktem. W przeciwnym przypadku dla dwóch praktycznie pokrywających się punktów, z których jeden przypada na jądro atomowe, a drugi — na przerwę między jądrami, otrzymałoby się istotnie różne wyniki (w pierwszym wypadku byłaby to ogromna wielkość, a w drugim — równa zeru). Dlatego DV powinno maleć dotąd, aż otrzyma się fizycznie nieskończenie mały obszar przestrzenny, tzn. taki, w którym zaniedbywalna jest jeszcze dyskretna (nieciągła) struktura materii, ale w którym makroskopowe cechy (odnoszące się do dużej liczby atomów) są już stałe.

Zgodnie z powyższym określeniem gęstości, infinitezymalna masa Dmi, jest równa iloczynowi gęstości ciała ri w danym punkcie i odpowiedniej elementarnej objętości DVi:

Dmi = ri DVi

I = S (ri Ri2 DVi)

Jeżeli gęstość jest stała, to można ją wyprowadzić przed znak sumowania:

I = r S (Ri2 DVi)

              Związki powyższe są przybliżone: ich dokładność jest tym większa, im mniejsze są objętości DVi i odpowiadające im masy Dmi. Widzimy, że problem znajdowania momentów bezwładności sprowadza się do całkowania:

I =      R2 dm =      r R2 dV

Całkowanie to przebiega po całej objętości ciała. Wielkości r i R są w tych całkach funkcjami punktu, tzn. na przykład zmiennych kartezjańskich x, y, z.

§ 2. Twierdzenie Steiner`a :

              Moment bezwładności I względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności Ic, względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły, oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między wymienionymi osiami :

I = Ic + ma2