W2 - Wprowadzenie do teorii mnogosci, szkoła, logika

1

Wykład drugi

Temat IV

Logika i matematyka

Wprowadzenie do teorii mnogości

Tworząc teorię mnogości G. Cantor - inaczej niż Euklides - nie podał żadnych aksjomatów czy postulatów, lecz sformułował definicje głównych jej pojęć: zbioru, liczby kardynalnej, równoliczności, zbioru uporządkowanego i typu porządkowego. W książce, która była systematyzacją i podsumowaniem uzyskanych wcześniejszych wyników, Cantor pisze:

Przez ‘zbiór’ rozumiemy każde zebranie w jedną całość M określonych, dobrze odróżnionych przedmiotów m naszej naoczności albo naszego myślenia (które są nazywane ‘elementarni’ [zbioru] M) Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengelehre(1895-1897).

Intuicyjna teoria zbiorów

Zbudowana przez Georga Cantora w latach 1871-1883 teoria mnogości operuje dwoma pojęciami pierwotnymi: pojęciem zbioru oraz relacji bycia elementem (należenia). Zbiór dany jest enumeracją elementów lub ogółem obiektów, którym na wspólna własność.. W pierwszym przypadku nazwy elementów zapisuje się w nawiasie klamrowym, np.

{ a1, a2, ... , an}, dla n-elementowego zbioru, gdy n > 1 jest liczbą naturalną.

W drugim przypadku zbiór jest ogółem obiektów, które posiadają własność. wy­rażoną funkcją zdaniową jednej zmiennej x,

  (1)                      Zφ={x: φ(x)}

Założenie, że dla dowolnej funkcji zdaniowej φ(x) istnieje zbiór Z postaci (1), tj. zbiór elementów spełniających tę funkcję nazywane jest aksjomatem abstrakcji.

G. Malinowski Logika ogólna, s. 166

------------------------------------

1. Terminologia i definicje

Zbiór jest złożony, składa się z pewnych przedmiotów

A, B, C … - zmienne przebiegające zbiory

x - nazwa (dowolnego) przedmiotu

W(x) – funkcja zdaniowa o zmiennej wolnej x

{x: W(x)} – operator abstrakcji; {x: } wiąże zmienną x

yÎ{x: W(x)} – y jest elementem zbioru takich x, że zachodzi W(x)

   Prawo eliminacji operatora abstrakcji

yÎ{x: W(x)} º W(y)

Relacje między elementami a zbiorami:

Należenie elementu do zbioru: xÎA - x jest elementem zbioru A, x należy do A

Nienależenie elementu do zbioru: xÏA - x nie jest elementem zbioru A, x nie należy do A.  Zachodzi: xÏA º ~(xÎA) º ~xÎA

Działania na zbiorach, ich określenie

A È B - suma zbiorów A i B; sumą zbiorów A i B jest zbiór tych i tylko elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B

A È B = {x: xÎA Ú xÎB};  xÎ A È B º xÎA Ú xÎB

A Ç B - iloczyn zbiorów A i B; iloczynem zbiorów A i B jest zbiór tych i tylko elementów, które należą do zbioru A i należą do zbioru B

A Ç B = {x: xÎA Ù xÎB};  xÎ A Ç B º xÎA Ù xÎB

A - B - różnica zbiorów A i B; różnicą zbiorów A i B jest zbiór tych i tylko elementów zbioru A, które nie są elementami zbioru B

A - B = {x: xÎA Ù xÏB};  xÎ A - B º xÎ A Ù xÏB

Różnica symetryczna dwóch zbiorów: A (A

V - zbiór uniwersalny; zbiór pełny, zbiór wszystkich przedmiotów

V = {x: x = x};  xÎV º x = x

Æ - zbiór pusty

Æ = {x: x ¹ x};  xÎÆ º x ¹ x

Właściwości zbioru pustego:

~$x (xÎÆ) º ~$x (x ¹ x)

"x (xÏÆ) - żaden przedmiot nie jest elementem zbioru pustego

A’ - dopełnienie zbioru A; dopełnieniem zbioru A jest zbiór tych i tylko przedmiotów, które nie są elementami zbioru A...