|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Ćwiczenie 1
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA Cel ćwiczenia: s twierdzenie, że okres małych drgań fizycznego wahadła grawitacyjnego zależy od momentu bezwładności ciała. Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności ciała względem osi środkowej. Zagadnienia: środek masy ciała, tensor bezwładności, moment bezwład- ności ciała, twierdzenie Steinera, wahadło fizyczne, drgania harmoniczne. 1.1. Wprowadzenie Środek masy W rozważaniach teoretycznych stosujemy często pojęcie środka masy ciała. Położenie przestrzenne środka masy ciała określamy posługując się wektorem wodzącym r masy elementarnej dm . W odpowiednim układzie odniesienia mamy r = ∫ r dm = ∫ ρ r dV , (1.1) C m m gdzie r C ≡ ( x C , y C , z C ) - wektor położenia środka masy ciała. ρ - gęstość (masa właściwa). 1 Zgodnie z definicją ρ= lim ∆ ∆ ∆ m V = dm dV , (1.2) V → 0 gdzie: dm - masa elementarna, dV - odpowiednia elementarna objetość w małym otoczeniu punktu P ciała. Dla ciał jednorodnych ρ const = m / V w całej objętości ciała. 1.2. Twierdzenie Steinera Przed czytaniem dalszej części należy zapoznać się z elementami dynamiki bryły sztywnej (patrz rozdział W1 ). Wtymćwiczeniu będziemy badać ruch obrotowy bryły sztywnej wokół nieruchomej osi. Na szczególną uwagę zasługują środkowe osie obrotu (przechodzące przez środek masy ciała). Jeżeli znany jest moment bezwładności ciała względem osi środkowej, to można wyznaczyć moment bezwładności względem innej osi równoległej do osi środkowej. Korzystamy wtedy z twierdzenia Steinera: różnica momentów bezwładności względem dwóch różnych równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy ciała, równa jest iloczynowi masy ciała i kwadratu odległości d między tymi osiami I − I C = md 2 (1.3) 2 Rys. 1.1. Ilustracja do dowodu twierdzenia Steinera Dowód twierdzenia Steinera jest prosty. Rozważania matematycz- ne przeprowadzamy w płaszczy- źnie przekroju ciała prostopadłego do obu równoległych osi obrotu. Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich ma początek w punkcie c osi środkowej. Położenie równoległej osi obrotu wyznacza punkt 0 na osi X układu współrzędnych (patrz rys. 1.1). Jeżeli odległość obu osi obrotu wynosi d, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla współrzędnych punktu P ciała mamy = Mnożąc obie strony tej zależności przez elementarną masę i całkując po objętości całego ciała 2 ( x − d ) 2 + y 2 = ( x 2 + y 2 ) + d 2 − 2 dx . dm dV dSdz dxdy dz ) otrzymujemy ∫ r 2 dm = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm + d 2 ∫ ∫ dm − 2 d xdm . Korzystając z definicji osiowego momentu bezwładności (W1.10) oraz z definicji środka masy ciała (1.1) mamy, w naszym przypadku ∫ r 2 dm = I , ∫ ( x 2 + y 2 ) dm = I , ∫ xdm = mx = 0 c c W ten sposób uzyskaliśmy zależność wyrażającą twierdzenie Steinera (1.3). 1.3. Zasada pomiaru Moment bezwładności względem wybranej osi można wyznaczyć doświadczalnie zawieszając bryłę tak, by pod wpływem siły grawitacji wykonywała drgania wokół tejże osi (bryła stanowi wówczas wahadło 3 r == =( fizyczne). Zgodnie ze wzorem (W1.18), w którym moment kierujący (patrz rys. W1.2), okres małych drgań takiego wahadła = T 2 = I . mgd Mierząc odległość d osi obrotu, odpowiedniego grawitacyjnego wahadła fizycznego, od środka masy oraz okres małych drgań tego wahadła wyznaczamy osiowy moment bezwładności ciała na podstawie zależności T 2 mgd I = . (1.4) 4π 2 Wprowadzając oś środkową możemy, korzystając z twierdzenia Steinera (1.3), wyznaczyć różnicę momentów bezwładności ciała względem dwóch różnych osi równoległych do osi środkowej. Mamy mianowicie: I 2 − I 1 = m ( d 2 2 − d 2 1 ) , d 1 d 2 Wyrażając dalej momenty bezwładności ciała przez okresy drgań odpowiednich wahadeł fizycznych (1.4.) otrzymujemy T 2 2 gd 2 − 4 π 2 d 2 2 = T 2 1 gd 1 − 4 π 2 d 2 1 = const . Stwierdzamy w ten sposób, że wyrażenie CTd d = − 2 4π 2 2 (1.5) jest stałe (stała drgań wahadła). Dla małych wychyleń z położenia równowagi wyrażenie (1.5) nie zależy od odległości osi wahadła od osi środkowej ciała. Wyznaczając okresy drgań T dla różnych odległości d wahadeł fizycznych i obliczając stałą C potwierdzamy doświadczalnie twiedzenie Steinera. Zauważmy jeszcze, że środkowy moment bezwładności ciała zależy w prosty sposób od stałej C . Mamy mianowicie, na podstawie wzorów (1.3), (1.4) i (1.5) 4 Dmd gdzie i - odległości obu osi od osi środkowej. I C = m C . (1.6) 4 π 2 1.4. Układ pomiarowy Zasadniczą częścią składową urządzenia pomiarowego jest metalowa tarcza kołowa z symetrycznie wyciętymi otworami. Odpowiednia podstawa z poziomą pryzmatyczną belką pozwala zawieszać tarczę w różnie usytuowanych otworach. Uzyskujemy w ten sposób wahadło fizyczne z różnymi równoległymi osiami obrotu. Zmieniając otwór zawieszenia, zmieniamy położenia osi obrotu tarczy względem osi środkowej. Jeżeli badanym ciałem jest cylindryczny metalowy pierścień, lub kołowa tarcza z otworami, to krawędź pryzmatycznej podpory jest osią obrotu odpowiedniego wahadła fizycznego. Odległość osi obrotu wahadła od osi środkowej wyznaczamy za pomocą suwmiarki o szczękach wewnętrznych. Okres drgań wahadła wyznaczamy za pomocą stopera lub elektronicznego licznika drgań. Masę metalowej tarczy i pierścieni wyznaczamy za pomocą wagi laboratoryjnej. I z = m ( R 2 1 + R 2 2 ) 2 I = 1 I + m h 2 = I y z x 2 12 Rys. 1.2. Układ głównych osi bezwładnosci jednorodnego pierścienia cylindrycznego 1.4. Zadania do wykonania A) Pomiary 5 |
Menu
|