w6, Elektrotechnika, Teoria Sterowania, wykład, wykład

Wykład 6
LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA
6.1.
Idea metody
6.2.
Zasady kre
lenia linii pierwiastkowych
6.3.
Wybór wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych
6.4.
Przykłady linii pierwiastkowych
Zastosowanie linii pierwiastkowych – samostrojenie w małych regulatorach (automatyczne
strojenie).
6.1. Idea metody
W(s)
Y(s)
Regulator
G
r
(
s
)
Obiekt
G
o
(
s
)
-
b
(
s
)
Obiekt jest dany w formie transmitancji
G
o
(
s
)
jako stosunek dwóch wielomianów
a
(
s
)
l
-
s
e
(Matlab -
). W zwi
zku z tym opó
nienie
zast
puje si
rozwini
ciem Pade’go (do
m
projektowania wystarczy I rz
d, a do sprawdzenia symulacyjnego II lub III rz
d).
Transmitancj
G
o
(
s
)
otrzymuje si
na podstawie modelu matematycznego lub na podstawie
identyfikacji metod
odpowiedzi skokowej.
Oznaczenia:
'
'
G
(
s
)
=
k
G
(
s
)
G
(
s
)
=
k
G
(
s
)
r
r
r
o
o
o
1
1
'
'
'
'
'
'
G
(
s
)
=
G
(
s
)
G
(
s
)
=
G
(
s
)
r
r
o
o
r
o
s
s
'
'
G
(
=
1
G
(
=
1
r
Transmitancja układu otwartego:
'
'
G
=
k
k
G
(
s
)
G
(
s
)
=
kG
(
s
)
otw
r
o
r
o
Transmitancja układu zamkni
tego:
b
(
s
)
k
G
kG
(
s
)
a
(
s
)
kb
(
s
)
otw
G
=
=
=
=
zam
b
(
s
)
1
+
G
1
+
kG
(
s
)
a
(
s
)
+
kb
(
s
)
otw
1
+
k
a
(
s
)
bieguny układu zamkni
tego (mianownik decyduje o dynamice obiektu)
Pierwiastki
s
i
(
k
)
,
i
=
1
,...,
n
wielomianu
a
(
s
)
+
kb
(
s
)
okre
laj
przebiegi przej
ciowe. Evans
podał, jak sporz
dzi
wykresy pierwiastków
s
i
(
k
)
na płaszczy
nie zmiennej zespolonej dla
k
Î
(
¥
)
nie obliczaj
c tych pierwiastków.
Def. Liniami pierwiastkowymi nazywamy zbiór rozwi
za
równania mianownika
transmitancji układu zamkni
tego dla zmieniaj
cego si
k
.
Przykład 6.1. Silnik sterowany napi
ciowo
Dla
układu
podanego
na
rysunku
wykre
li
linie
pierwiastkowe.
Przy
jakim
k
przeregulowanie wyniesie 16.3%? Kiedy przebiegi b
d
aperiodyczne krytyczne?
1
+
k
s
(
s
1
-
·
Wykres linii
1
+
1
+
G
otw
=
k
, gdzie
G
=
s
(
s
1
s
(
s
1
k
s
(
s
+
1
k
G
zam
=
=
k
2
s
+
s
+
k
1
+
s
(
s
+
1
s
1
k
)
,
s
2
k
)
= ?
D
=
1
-
4
k
1
1
D
k
<
D
>
0
:
s
=
-
±
1
2
4
2
2
1
1
k
=
D
=
0
:
s
=
-
1
2
4
2
1
-
D
1
k
>
D
<
0
:
s
=
-
±
j
1
2
4
2
2
Im
s
k
=
1
1
k
=
4
f
Re
s
1
0
-
1
-
2
·
Przeregulowanie a k
t
f
2
w
n
G
(
s
)
=
II
2
2
s
+
2
xw
s
+
w
n
n
2
s
=
-
xw
±
j
w
1
-
x
1
2
n
n
p
%
px
ln
-
100
1
-
x
2
p
=
e
×
100
%
x
=
®
%
p
2
2
%
p
+
ln
100
p
=
16
.
3
x
=
0
5
®
%
2
1
-
x
Im
tan
f
=
=
Re
x
x
=
0
tan
f
=
3
f
=
60
®
®
1
3
s
=
-
±
j
=
s
1
2
2
2
Wniosek. Przeregulowanie jednoznacznie okre
la biegun układu zamkni
tego na liniach
pierwiastkowych.
·
Wzmocnienie
a
(
s
)
+
kb
(
s
)
=
0
- równanie spełnione na linii pierwiastkowej
a
(
s
)
k
=
-
dla
s
na linii pierwiastkowej
b
(
s
)
1
3
2
+
+
=
0
k
=
-
s
(
s
+
1
dla
s
=
-
+
j
s
s
k
®
2
2
1
3
1
3
czyli
k
=
-
-
+
j
+
j
=
1
2
2
2
2
·
Czas regulacji
4
4
4
t
=
=
=
=
8
r
1
xw
Re
s
n
1
2
2
·
Przebiegi aperiodyczne krytyczne
1
s
=
-
=
s
2
2
1
k
=
-
s
(
s
+
1
=
1
s
=
-
4
2
1.5
Matlab
1
l=1
m=[1 1 0]
k=0:0.02:2
r=rlocus(l,m,k)
plot(r,’*’),grid
0.5
0
-0.5
r=rlocus(l,m,k)
-1
-1.5
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Przykład 6.2. Linie pierwiastkowe wzgl
dem innego parametru
Linie pierwiastkowe mo
na tworzy
nie tylko wzgl
dem wzmocnienia, ale dowolnego
parametru pami
taj
c o tym, aby mianownik układu zamkni
tego doprowadzi
do postaci:
„wielomian
a +
parametr
´
wielomian
b
”.
Jak zachowa si
nast
puj
cy układ wraz ze zmian
bieguna
c
?
1
s
(
s
+
c
)
-
1
s
(
s
+
c
)
1
1
G
zam
=
=
=
1
2
2
s
+
cs
+
1
s
+
1
+
cs
1
+
s
(
s
+
c
)
2
a
(
s
)
=
s
+
1
,
b
(
s
)
=
s
,
c
odpowiada
k
.
s
Czyli tak jakby
G
otw
=
c
2
s
+
1
2
s
+
cs
+
1
=
0
2
D
=
c
-
4

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

alter.htw.pl