|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów
Założenia Gaussa-Markowa o składniku losowym: 4. Składnik losowy: v ma rozkład o stałym odchyleniu standardowym: , v nie występuje autokorelacja składnika losowego: dla , sprowadzają się do równania , tzn.: macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną z wartościami równymi na całej głównej przekątnej oraz zero poza nią. W przypadku autokorelacji lub heteroskedastyczności modelu powyższy warunek nie zachodzi, lecz ma miejsce: , gdzie jest macierzą symetryczną, dodatnio określoną. Jeżeli znamy postać macierzy lub jej oszacowanie , to możemy dokonać estymacji parametrów liniowego modelu ekonometrycznego uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów (UMNK). Wówczas wektor oszacowań parametrów modelu ma postać: , oszacowanie macierzy kowariancji ocen parametrów: , estymator wariancji składnika losowego: Model z heteroskedastycznym składnikiem losowym
W praktyce, gdy składnik losowy jest heteroskedastyczny, najczęściej mamy do czynienia z jednym z przypadków zmian w wartości wariancji składnika losowego: v zmiany te następują w czasie (wariancja rośnie lub maleje z czasem), v zmiany są proporcjonalne do wielkości pewnej zmiennej, v obserwacje pochodzą z kilku podprób pochodzących z podpopulacji różniących się wielkością wariancji. Zastosowanie klasycznej MNK do oszacowania parametrów modeli heteroskedastycznych powoduje, iż estymatory tychże parametrów nie są najbardziej efektywne. Postuluje się wówczas stosowanie innych metod estymacji (uogólnionej MNK, ważonej MNK) lub transformacji zmiennych. W wyniku stosowania np. uogólnionej MNK wartości ocen estymatorów parametrów z reguły nie ulegają zmianie, następuje jednak przeszacowanie błędów standardowych. W modelu z heteroskedastycznym składnikiem losowym wariancja składnika losowego jest różna dla różnych obserwacji: oraz , zatem w tym przypadku , , zaś oraz . Nieznana macierz , wariancja stała w podpróbachW przypadku, gdy postać macierzy jest znana, oceny parametrów uzyskuje się wprost z podanego wzoru, jednak najczęściej nie znamy postaci tej macierzy. Wówczas można dokonać pewnej jej estymacji. Nie dokonuje się jej jednak w przypadku ogólnym, ale tylko przy pewnych dodatkowych założeniach. Omówimy przypadek, gdy wariancja jest stała w podpróbach (dotyczących zwykle pewnych obiektów, w obrębie których dokonywane były obserwacje, np. regionów, przedsiębiorstw, gałęzi przemysłu itp.). W tym przypadku macierz ma postać: , natomiast gdzie Ini jest macierzą jednostkową rzędu ni równemu liczebności i-tej podgrupy. Jeżeli wszystkie liczebności ni są większe od liczby szacowanych parametrów k+1, to w każdej z podgrup należy oszacować osobno parametry modelu ekonometrycznego stosując KMNK, obliczyć wartości reszt dla tych modeli oraz wartości wariancji resztowych , i=1, 2, ..., r w podgrupach. Wartości są oszacowaniami wariancji składnika losowego dla podgrup. Ponieważ zatem można wyznaczyć oceny parametrów modelu używając zamiast oszacowania macierzy – oszacowania macierzy . Podobnie , zatem oszacowanie macierzy wariancji i kowariancji ocen parametrów modelu można uzyskać w oparciu o macierz zamiast macierzy . PrzykładOszacujemy parametry oraz błędy dla danych dotyczących trzech zakładów o jednakowym profilu produkcji, w których badano zależność między stażem pracy pracowników mierzonym w latach (x), a wydajnością (określaną jako przeciętna liczba wykonanych operacji – yi). W poprzednio omówionym przykładzie przy pomocy UMNK wyznaczono parametry modeli dla trzech zakładów osobno i łącznie oraz wyznaczono dla nich wariancje resztowe. x y1 y2 y3
Zakład a0 a1 S(a0) S(a1) R2 0 20 22 20
I 24 10 4,90 2,00 0,89 40 1 40 36 38
II 24 10 3,58 1,46 0,94 5,33 2 40 44 44
III 24 10 1,79 0,73 0,98 21,33 3 60 56 58
Łącznie 24 10 1,75 0,72 0,94 15,39 ... |
Menu
|