|
Nie obrażaj więc mojej inteligencji poprzez czynione na pokaz zaniżanie własnej.
Konspekt wykładu 2 (A.Jóźwikowska)Ciągi Liczbowe
Funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R nazywamy ciągiem liczbowym (nieskończonym) i oznaczamy , gdzie . Ciągi monotoniczneCiąg jest . Ciągi ograniczoneCiąg jest:
Otoczeniem liczby g o promieniu nazywamy przedział otwarty . Inaczej : Otoczeniem liczby g o promieniu nazywamy zbiór punktów, których odległość od punktu g jest mniejsza od . Oznaczenie Otoczeniem plus nieskończoności nazywamy przedział otwarty , gdzie a jest dowolną liczbą.Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy przedział otwarty, gdzie a jest dowolną liczbą.Granica ciągu Ciąg zbieżny do granicy skończonejDef 1: Liczbę g nazywamy granicą ciągu , jeżeli spełniony jest warunek . dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od różnią się od g mniej niż o .
Zapisujemy lub .
Zwrot „Prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie wyrazu ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu. Def 1a:Liczbę g nazywamy granicą ciągu , jeżeli w dowolnym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Ciąg, który ma granicę (skończoną) nazywamy zbieżnym. Zbieżność ciągu oznacza istnienie skończonej granicy tego ciągu.
Ciąg, który nie ma granicy skończonej nazywamy rozbieżnym. Ciągi rozbieżneDef 2: Ciąg nazywamy rozbieżnym do jeżeli dla dowolnej liczby A istnieje liczba taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od są większe od liczby A. Def 3: Ciąg nazywamy rozbieżnym do , jeżeli Zapisujemy lub . lub . Mówimy, że , () jest granicą niewłaściwą ciągu.
Istnieją ciągi rozbieżne (czyli takie, które nie mają skończonej granicy), które nie są rozbieżne ani do ani do . Przykład. Ciąg jest rozbieżny.
Rachunek granic skończonych Tw. Jeżeli i , to 1. 2. 3. przy założeniu, że . Ważniejsze granice Prawdziwe są poniższe równości: 1. 2. 3. Tw. 1 Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.
Tw. 2 Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony. Wniosek Ciąg, który nie jest ograniczony jest ciągiem rozbieżnym.
Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Ciąg ograniczony, może być ciągiem rozbieżnym.
Tw. 3 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.
Tw.4 (o trzech ciągach) Jeżeli oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność to .
Tw.5 ( zachowaniu nierówności słabej przy przejściu do granicy) Jeżeli i oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność , to .
Znak granicy i znak wyrazów ciągu Tw.6 Jeżeli granica ciągu jest liczbą dodatnią (ujemną), to prawie wszystkie wyrazy ciągi są dodatnie (ujemne). Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych (niedodatnich), to granica tego ciągu jest liczbą nieujemną (niedodatnią).
Tw.7 (warunek Cauchy’ego zbieżności ciągu) Ciąg jest zbieżny
dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od różnią się między sobą mniej niż o .
Liczba Eulera e»2,718281... Niech Dowodzi się, że ciąg jest rosnący i ograniczony, a więc zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy literą e. Można wykazać, że e jest liczbą niewymierną. . Logarytm o podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln. Tw. Jeżeli
Rachunek granic nieskończonych
1. Jeżeli lub , to . Symbolicznie: ,. 2. Jeżeli i wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (), to . Symbolicznie. 3. Jeżeli i wszystkie wyrazy ciągu są ujemne (), to . Symbolicznie. 4a. Jeżeli , i , to . 4b. Jeżeli , i , to . Symbolicznie. 5a Jeżeli , , to . 5b. Jeżeli , , to .
6a. Jeżeli , , to . 6b. Jeżeli , , to . 7. Jeżeli ciąg jest ograniczony i , to .
Symbolicznie twierdzenie zapisujemy
Symbole nieoznaczone Mówimy, że ciąg jest ciągiem typu jeżeli jest dany w postaci różnicy dwóch ciągów rozbieżnych do . , gdzie , . O ciągu nie można niczego orzec bez bliższych informacji o ciągach .
19
|
Menu
|