w11 Macierz Odwrotna, Finanse SGGW, Matematyka

Macierz Odwrotna

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.

Mówimy, że A jest macierzą odwracalną, jeżeli istnieje taka macierz B, że

.           (*)

Jeżeli A jest odwracalna, to macierz B, która spełnia równość (*) nazywamy macierzą odwrotną do A i oznaczamy symbolem .

Tw:

Jeżeli macierz A jest odwracalna, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do A.

(Inaczej: macierz odwrotna do odwracalnej jest wyznaczona jednoznacznie.)

Dowód

Załóżmy, że istnieją dwie różne macierze B, C odwrotne do A. Wówczas

oraz

Korzystając z własności mnożenia macierzy otrzymamy

.

Własności macierzy odwrotnej

wyznaczanie macierzy odwrotnej (sposób pierwszy)

Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A nazywamy  macierz

TW.

Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą, to macierz odwrotna jest równa macierzy dołączonej do A podzielonej przez wyznacznik macierzy A.

.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą powyższego wzoru jest uciążliwe rachunkowo, wymaga obliczenia dopełnień algebraicznych macierzy A.

Rozwiązywanie równań macierzowych

Niech dane będą macierze:

nieosobliwa macierz A, oraz macierz B, C,  , .

Rozwiązaniem równania macierzowego

jest macierz , .

Rozwiązaniem równania macierzowego

jest macierz , .